Endliche Gruppen – Véges Csoportok – Finite Groups

Die Gruppe $(G,\circ)$ heißt endlich, wenn die Menge $G$ endlich ist: $|G| < \infty$ und $|G|$ heißt auch die Ordnung der Gruppe.

Nach den Feststellungen über die linken und rechten Nebenklassen einer Untergruppe $H \leq G$ gilt für eine endliche Gruppe $G$ , dass die Ordnung von $H$ ein Teiler der Ordnung von $G$ ist: $H \leq G \Longrightarrow |H| \,\left|\ |G| \right.$ . Der Quotient

$\operatorname{ind}(G:H) \,=\, (G:H)\,:=\, \frac{|G|}{|H|}$

heißt der Index von $H$ in $G$ .

Ist $G$ endlich, dann sind alle Elemente von $G$ zyklisch und wegen der obigen Feststellung ist die Ordnung jedes Elements Teiler der Ordnung der Gruppe:

$a \in G \Longrightarrow \left| \left[ a \right] \right| \,=\, \operatorname{ord}(a) \,\left{|\ |G| \right.$

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