Interpolation mit Polynomen – Polinomokkal való interpoláció – Interpolation with Polynomials

Fontos kérdés a numerikus matematikában s így az alkalmásokban is, hogyan lehet egyes függvényértékek ismeretében egy további értékhez tartozó függvényértéket megközelíteni. Első megközelítésként azt várjuk el, hogy azt az ismert függvényértékek lineáris kombinációjaként tudjuk előállítani. Tegyük tehát fel, hogy az $x_i \ (i = 1, \ldots, n)$ helyeken ismerjük a függvényértékeket s ezek rendre $f_i \ (i = 1, \ldots, n)$ . A $\xi$ helyen

$f(\xi) \ \approx \ \sum\limits_{i = 1}^{n} c_i f_i$

alakban akarjuk megközelíteni az ismeretlen függvényértéket. Az egyik „szokásos“ eljárás az, hogy abból indulunk ki, hogy ez a képlet pontos bizonyos alapfüggvények egy egész osztályára, történetesen bizonyos polinomokra. Mivel összesen $n$ darab ismeretlen változó van ( $c_1, \ldots, c_n$ ), ezért az első $n$ számú polinomot választjuk, azaz az $f(x) \ = \ 1, x,x^2, ldots, x^{n-1}$ függvényeket s ily módon ezt az egyenlet rendszert kapjuk:

$\begin{array}{ccccccc} 1 & = & c_1 + c_2 + \ldots c_n \\ \xi & = & c_1 x_1 + c_2 x_2 + \ldots + c_n x_n \\ \xi^2 & = & c_1 x_1^2 + c_2 x_2^2 + \ldots + c_n x_n^2 \\ \vdots & & \vdots \\ \xi^{n-1} & = & c_1 x_1^{n-1} + c_2 x_2^{n-1} + \ldots + c_n x_n^{n-1} \\ \end{array}$

Ez az $n$ ismeretlenes és $n$ egyenletből álló lineáris egyenletrendszer Vandermonde mátrix-szal rendelkezik, amelyik determinánsa

$V(x_1,\ldots\,x_n) \ = \ \left| \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \ldots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \ldots & x_n^{n-1} \\ \end{array} \right| \ = \ \prod\limits_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$

Alkalmazva a Cramer-féle szabályt ennek a $k$ -adik oszlopát az egyenletrendszer bal oldalával helyettesítjük. Ekkor szintén Vandermonde mátrixot kapunk s ennek a determinánsa

$V(x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}, \xi, x_{k+1}, \ldots, x_n)$

Ez azt jelenti, hogy az egyenletrendszer megoldása létezik és egyértelmű pontosan akkor, ha az $x_i$ értékek páronként különbözőek, és ekkor ilyen alakú:

$c_i \ = \ \frac{\prod\limits_{j \neq i} (x_j - \xi)}{\prod\limits_{j \neq i} (x_j - x_i)} \ = \ \prod\limits_{j = 1}^{n} (x_j - \xi) \, \left[ \frac{1}{x_i - \xi} \, \frac{1}{\prod\limits_{j \neq i} (x_j - x_i)} \right] \quad (i = 1, \ldots, n) \ .$

Következésképpen

$f(\xi) \ \approx\ \left( \prod\limits_{j = 1}^{n} (x_j - \xi) \right) \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{f_i}{x_i - \xi} \, \frac{1}{\prod\limits_{j \neq i} (x_j - x_i)} \right) \ .$

Ha most nem az ismeretlen függvényértéket akarjuk megközelíteni, hanem fordítva adott függvényértéknek az ősképét, egyszerűen az $f$ függvényt az inverzével helyettesítjük valamint felcseréljük az $x_i$ értékeket az $f_i$ értékekkel. Ekkor az $\eta$ függvényérték ősképére ezt a képletet kapjuk

$\xi \ \approx\ \left( \prod\limits_{j = 1}^{n} (f_j - \eta) \right) \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_i}{f_i - \eta} \, \frac{1}{\prod\limits_{j \neq i} (f_j - f_i)} \right)$