p-adische Zahlen – p-adikus számok – p-adic numbers

Most pedig a p-adikus számokkal kezdek foglalkozni. Érdekes módon ezek az egyetemen soha nem játszottak szerepet. A polinom gyűrűk és azok testté való bővítése is „csak“ úgy voltak érdekesek, hogy vettük egy ilyen gyűrű maximális ideálját illetve az ezen ideál szerinti faktor gyűrűt, amelyik szükségképpen test hacsak a gyűrű zéróosztómentes. Polinomok hányadosait viszont – ha jól emlékszem – nem tekintettük, ahogy függvénygyűrűk faktorgyűrűit sem. Ezekhez pedig bizonyos értelemben a p-adikus számok közel állnak.

A múlt napokban és hetekben valami oknál fogva egyre gyakrabban ezekkel a – számomra új – számokkal találkoztam és egyre inkább felkeltették érdeklődésemet. Úgy határoztam, hogy jó lenne többet megtudni róluk. Sajnos már a p-adikus szám névvel is kisebb problémába ütköztem, mivel a Wikipedia azokat tárgyaló angol vagy német weboldala igaz, hogy egymásra mutat, de nem a megfelelő magyar oldalra. Az viszont létezik (és mutat az angol és német oldalra …) — itt a link — de ehhez már tudni kellett a pontos elnevezést !
A másik probléma a magyar elnevezéssel az, hogy úgy hangzik, mint „p-adik“ szám, ami még helytelen is lenne, de mégis félreértéseknek lehet az oka. Ezen túl aztán a „2-adikus“ vagy akár „5-adikus“ szót hogyan kell mondani? „kétadikus“nak és „ötadikus“nak? Itt tehát bonyolult nyelvészeti problémák merülhetnek fel, amelyek többek közt abból adódnak, hogy az angol nyelvben ellentétben a magyarral nincs hangharmónia s így nehéz ezt az elnevezést magyarra átvinni. Persze meghagyjuk azonban az „-adikus“ nevet, hiszen ez a nyílvánosan elfogadott.

Legyen most $p$ prímszám és tekintsük a következő — egyelőre formális — összegeket.

$\sum\limits_{n = n_0}^{\infty} a_n \cdot p^n \quad (n_0 \in \mathbb{Z} \ \text{\'es}\ 0 \leq a_n < p) \ .$

Vagy $a_{n_0} \neq 0$ vagy pedig az összes együttható 0 és ilyenkor $n_0 = \infty$ -nek választható.
Ezeknek a számoknak a körében ugyanúgy értelmezhetjük az összeadást és a szorzást is, mint a $p$ alapú számrendszerben írt természetes számok körében azzal a különbséggel, hogy az összegek most „bal felé a végtelenbe“ terjednek. Mivel azonban az indexeknek minden ilyen összegben van alsó határa, ezért ez nem jelent igazi kikötést.

A p-adikus számok halmazát pedig $\mathbb{Q}_p$ -vel jelöljük. Azoknak a p-adikus számoknak a halmazát, amelyeknek nincs 0-tól különböző negatív kitevőjű együtthatója, pedig $\mathbb{Z}_p$ -vel jelöljük. Ezeket p-adikus egészeknek nevezzük. Ki fog derülni, hogy $\mathbb{Q}_p$ test, amelyiknek $\mathbb{Z}_p$ részgyűrűje.

Vegyük észre, hogy a természetes számokat teljesen természetszerűen be lehet ágyazni a p-adikus számokba s ugyanúgy azoknak a racionális számoknak a halmazát is, amelyek

$q \ = \ \frac{a}{p^n} \ \left|\ a \in \mathbb{Z} \ \wedge \left(\left( \ n > 0 \ \wedge\ p \not| a \right) \ \vee \ n = 0 \right) \right.$

alakban írhatók. A beágyazás kompatibilis az összeadással és szorzással. A természetes számok pedig pontosan azoknak a p-adikus számoknak felelnek meg, amelyekben $n_0 \geq 0$ és csak véges sok együttható különbözik 0-tól. A fenti alakú racionális számok p-adikus előállításában is csak véges sok együttható különbözik 0-tól és minden ilyen p-adikus szám ilyen alakú.

Lássuk be azt is, hogy minden p-adikus számnak van additív inverze. Definiáljuk a fentiekben leírt (formális) összeghez a következő számot:

$a' \ := \ \sum\limits_{n = n_0}^{\infty} a_n' \cdot p^n$

ahol

$a_n' \ := \ \left\{ \begin{array}{ccc} p - a_n - 1 & \text{ha} & n > n_0 \\ p - a_n & \text{ha} & n = n_0 \end{array} \right.$

( $n_0 = \infty$ esetén, azaz amikor az összes együttható nulla és ez a szám a $0$ egész számnak felel meg, maga ez a szám a negatív inverz és $a_n' = a_n = 0$ minden $n$ -re.)
$0 \leq a_n' < p$ az összes $n$ természetes számra, $n = n_0$ -ra is. Továbbá

$a_{n_0} + a_{n_0}' \ = \ 1 \cdot p + 0$

és $n > n_0$ esetén

$a_n + a_n' + 1 \ = \ a_n + (p - a_n - 1) + 1 \ = \ 1 \cdot p + 0$

úgyszintén teljesül, amiből $a + a' = 0$ , tehát $a' = -a$ . Ily módon például

$-1_5 \ = \ \ldots 44444 \ .$

Továbbra, ha még azt is belátjuk, hogy multiplikatív inverze is van minden p-adikus számnak, bebizonyítottuk, hogy a p-adikus számok a fenti műveletekkel testet alkotnak.

Schreibe einen Kommentar Antworten abbrechen